Un piano di studi per analisi matematica.
Modulo 1: Fondamenti di Analisi Matematica
Obiettivo: Acquisire le basi logico-matematiche per lo studio rigoroso dell'analisi.
Logica e insiemistica
- Proposizioni logiche e connettivi
- Quantificatori
- Teoria degli insiemi (operazioni, cardinalità, insiemi numerici)
Numeri reali e struttura
- Assiomi dei numeri reali
- Principio di completezza
- Successioni di Cauchy e proprietà dei reali
Spazi metrici e topologia elementare
- Definizione di spazio metrico
- Punti di accumulazione e chiusura
- Teorema di Bolzano-Weierstrass
Modulo 2: Calcolo Differenziale in una Variabile
Obiettivo: Comprendere i concetti di derivabilità e loro applicazioni.
Funzioni reali di variabile reale
- Limiti e continuità (teoremi fondamentali)
- Teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi
- Funzioni monotone
Derivate e loro significato
- Definizione e interpretazione geometrica
- Regole di derivazione
- Teorema di Fermat, Rolle, Lagrange
- Convessità e concavità
Serie numeriche e serie di potenze
- Criteri di convergenza
- Serie di Taylor
- Sviluppi in serie
Modulo 3: Calcolo Integrale in una Variabile
Obiettivo: Studiare l'integrazione e le sue applicazioni.
Integrale di Riemann
- Definizione e proprietà
- Teoremi fondamentali del calcolo integrale
- Metodi di integrazione
Funzioni integrabili e teoremi principali
- Continuità e integrabilità
- Integrale improprio
- Teorema di Fubini (cenni)
Modulo 4: Analisi Matematica in Più Variabili
Obiettivo: Estendere i concetti di analisi a funzioni di più variabili.
Derivate parziali e differenziabilità
- Definizione e significato geometrico
- Matrice Jacobiana e gradiente
- Teorema della funzione implicita
Integrali multipli e teoremi fondamentali
- Cambi di variabile
- Teorema di Gauss e Stokes
Modulo 5: Successioni e Serie di Funzioni
Obiettivo: Studiare il comportamento delle funzioni in successione.
Convergenza puntuale e uniforme
- Teorema di Weierstrass
- Passaggio al limite sotto integrale
Serie di Fourier e applicazioni
- Espansione in serie
- Proprietà di convergenza
Modulo 6: Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE)
Obiettivo: Risolvere equazioni differenziali di primo e secondo ordine.
Equazioni differenziali di primo ordine
- Metodo di separazione delle variabili
- Fattore integrante
Equazioni differenziali lineari di ordine superiore
- Metodo della variazione dei parametri
- Soluzioni particolari