Il calcolo matriciale

Il calcolo matriciale è una branca dell'algebra lineare che si occupa delle operazioni sulle matrici. Le matrici sono tabelle bidimensionali di numeri, simboli o espressioni, e vengono utilizzate per rappresentare sistemi di equazioni lineari, trasformazioni lineari, grafi, dati statistici e molto altro.

1. Definizione e Notazione

Una matrice è una tabella di elementi organizzati in righe e colonne. Formalmente, una matrice $A$ di dimensione $m \times n$ è scritta come:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

dove $a_{ij}$ è l'elemento situato nella riga $i$ e colonna $j$ .

2. Tipologie di Matrici

• Matrice quadrata: $n \times n$ , stesso numero di righe e colonne.
• Matrice rettangolare: $m \times n$ , con $m \neq n$ .
• Matrice diagonale: ha elementi non nulli solo sulla diagonale principale.
• Matrice identità $I_n$ : matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale pari a 1.
• Matrice nulla: ha tutti gli elementi pari a zero.
• Matrice simmetrica: $A^T = A$ .
• Matrice antisimmetrica: $A^T = -A$ .
• Matrice ortogonale: $A^T A = I_n$ .
• Matrice triangolare superiore/inferiore: ha tutti gli elementi sotto/sopra la diagonale uguali a zero.

3. Operazioni sulle Matrici

Somma e Differenza

Se due matrici $A$ e $B$ hanno la stessa dimensione $m \times n$ , la somma e la differenza sono definite come:

$$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

$$(A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$$

Moltiplicazione per uno scalare

$$(k A)_{ij} = k \cdot a_{ij}$$

Prodotto Matriciale

Il prodotto tra due matrici $A$ ( $m \times p$ ) e $B$ ( $p \times n$ ) è definito se il numero di colonne di $A$ coincide con il numero di righe di $B$ . La matrice risultante $C = A B$ avrà dimensione $m \times n$ e i suoi elementi sono dati da:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$$

Il prodotto non è commutativo in generale: $AB \neq BA$ .

Trasposizione

La trasposta di una matrice $A$ è ottenuta scambiando righe e colonne:

$$(A^T)_{ij} = A_{ji}$$

Determinante

Per matrici quadrate, il determinante è uno scalare associato alla matrice. Per una matrice $2 \times 2$ :

$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

Per matrici più grandi, si usa la regola di Laplace.

Matrice Inversa

Una matrice $A$ quadrata è invertibile se $\det(A) \neq 0$ , e l'inversa $A^{-1}$ soddisfa:

$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$

L'inversa si calcola con la formula:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)$$

dove $\text{Adj}(A)$ è la matrice aggiunta.

Rango della Matrice

Il rango di una matrice è il numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendenti. È utile per determinare l'esistenza di soluzioni nei sistemi lineari.

4. Sistemi di Equazioni Lineari e Matrici

I sistemi di equazioni lineari possono essere scritti in forma matriciale:

$$AX = B$$

dove:

• $A$ è la matrice dei coefficienti,
• $X$ è il vettore delle incognite,
• $B$ è il vettore dei termini noti.

Se $A$ è invertibile, la soluzione è:

$$X = A^{-1} B$$

Per sistemi non invertibili si usano metodi come Gauss-Jordan o fattorizzazione LU.

5. Applicazioni del Calcolo Matriciale

• Grafica computerizzata: trasformazioni geometriche come rotazioni e scalature.
• Fisica e Ingegneria: risoluzione di equazioni differenziali, analisi strutturale.
• Machine Learning e AI: reti neurali, decomposizione della matrice nei dati.
• Economia e Finanza: modelli di input-output, ottimizzazione lineare.
• Statistica e Big Data: analisi delle componenti principali (PCA).

6. Decomposizioni Matriciali Importanti

• Decomposizione LU: fattorizza una matrice in $L U$ , dove $L$ è triangolare inferiore e $U$ è triangolare superiore.
• Decomposizione QR: scompone $A = QR$ , con $Q$ ortogonale e $R$ triangolare superiore.
• Autovalori e Autovettori: $A v = \lambda v$ , dove $\lambda$ è un autovalore e $v$ è il corrispondente autovettore.
• Decomposizione ai valori singolari (SVD): $A = U \Sigma V^T$ , utilizzata nell'analisi dei dati.